Booleovská algebra

Co je to Booleovská algebra?

Booleovská algebra je matematická struktura, která pracuje s logickými hodnotami a operacemi nad nimi. Základními prvky jsou typicky dvě hodnoty:

\[ 0 \quad (false), \qquad 1 \quad (true) \]

Používá se především v:

• logice
• návrhu digitálních obvodů
• informatice (podmínky, bitové operace)

Formální definice

Booleovská algebra je uspořádaná šestice:

\[ (B, +, \cdot, ', 0, 1) \]

kde:

• \( B \) je množina
• \( + \) je operace OR (součet)
• \( \cdot \) je operace AND (součin)
• \( ' \) je negace (NOT)
• \( 0 \) je neutrální prvek pro OR
• \( 1 \) je neutrální prvek pro AND

Operace

AND (konjunkce)

\[ 1 \cdot 1 = 1, \quad jinak\ 0 \]

OR (disjunkce)

\[ 1 + 0 = 1, \quad 0 + 0 = 0 \]

NOT (negace)

\[ 0' = 1, \quad 1' = 0 \]

Axiomy

Booleovská algebra splňuje následující základní vlastnosti:

Komutativita

Vyjadřují nezávislost výsledku na pořadí operandů:

\[ a + b = b + a \] \[ a \cdot b = b \cdot a \]

Asociativita

Zajišťují, že při opakovaném použití operace nezáleží na způsobu závorkování: \[ a + (b + c) = (a + b) + c \] \[ a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \]

Distributivita

Umožňují vzájemné „roznášení“ operací: \[ a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \] \[ a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c) \]

Identita

Definují neutrální prvky: \[ a + 0 = a \] \[ a \cdot 1 = a \]

Doplněk

Každý prvek má svůj doplněk: \[ a + a' = 1 \] \[ a \cdot a' = 0 \]

De Morganovy zákony

De Morganovy zákony patří mezi nejdůležitější vztahy v Booleovské algebře, protože umožňují transformovat výrazy obsahující negaci.

\[ (a \cdot b)' = a' + b' \]

\[ (a + b)' = a' \cdot b' \]